盗聴のない場合の確率計算

同時に知ることのできない２つの物理量を用いて、いかに盗聴されたことを知るか。

その数学的なモデルをここでは示します。

わかりやすさ優先のため、ある程度単純化してしまっていることをご了承ください。

アリスという人がボブという人に情報を送ることを考えます。

通信の仕組みを説明する場合や危険度などを評価する場合、約束ごとのように、この名前が使われます。

ちなみに盗聴者の名前はイヴです。

１ビットの情報を送るのに、白黒２つの箱が同時に送られると考えて下さい。

この２つの箱は、同時に知ることのできない２つの物理量に相当します。

アリスは、送信すべき情報（０か１）を紙に書き、確率半々でどちらかの箱を選び、そこに入れて送ります。

この時、もう一方の箱には、０か１が等確率でランダムに書かれた紙が自動的に入れられます。

ボブは２つの箱を受け取ります。

アリスが情報を書いた紙がどちらにあるのかはわかりません。

仕方がないので、確率半々でランダムに開け、その結果を受信情報とします。

２つの箱の中身を共に知ることはできないので、片方の箱を開けたとたんに、他方の情報は失われます（改めて０か１が等確率でランダムに割り当てられる）。

この時、アリスが書いた送信情報とボブが得た受信情報とが、一致する確率Ｐはどうなるでしょう。

アリスが選んだ箱とボブが選んだ箱が一致する確率は、当然0.5です。

この時には、送信情報と受信情報は一致します。

アリスが選んだ箱とボブが選んだ箱が一致しなかった場合（一致しない確率も0.5）、書かれた情報はランダムですから、それと送信情報が一致する確率も0.5です。

つまり、Ｐは、0.5×１ ＋ 0.5×0.5で0.75となります。