中心極限定理

５章と６章の結果から、送信情報と受信情報が一致する確率は、盗聴がない場合に0.75であり、盗聴がある場合は0.625であることがわかりました。

それでは、両者を見比べて結果的にビットが一致していた時に、これは盗聴があったと判断すべきでしょうか、なかったと判断すべきでしょうか。

それはもちろんわかりません。

どちらもありえることです。

結果的にビットが一致していない場合も、同じことです。

では、同じ条件（盗聴がないかあるか）で８回送ったとしましょう。

その中で６回は送信情報と受信情報が一致し、２回は一致しなかったとします。

８回のうち６回合ったのですから、一致的は0.75です。

５章のＰと見事一致します。

じゃあ盗聴はなかったんだ。

そう結論づけてしまっていいでしょうか。

答えはノーです。

あくまで確率ですから、盗聴があったとしても、実際に一致するのは、確率通り８回のうちの５回とは限りません。

たまたま６回一致したり４回しか一致しない場合も当然ありえます。

硬貨を４回投げて、表が出た回数が２回でなく３回だったとしても、特に不思議がる必要はありませんね。

それと同じことです。

それでは80回送ったとしましょう。

その中で58回一致したとします。

一致率は0.725で、0.75よりは多少低いのですが、0.625よりはずっと大きい値です。

この場合、８回送って６回一致した場合と比べて、盗聴がなかったとみなすのはある程度合理的なのです。

硬貨を400回投げて300回近く表だったら、さすがに何かおかしいかな、と考えますね。

それと基本的には同じことです。

実は確率論の世界には中心極限定理というものがあります。

一回ごとに独立で生起確率がわかっているある事象に対し、その試行回数を増やすと、観測される生起率は、その生起確率からほとんどはずれなくなっていくのです。

つまり、何百回もやって一致率が0.75に近ければ、それは元々の確率が0.75だった、つまり盗聴はなかったと、まず間違いなく結論付けられるのです。

そしてその「間違い」の確率は、試行回数が増えるに従って、限りなくゼロに近づいていくのです。